http://escola.britannica.com.br/resources/lm/GM_5_11/GM_5_11.htm

http://vivenciadomeusjogos.meusjogosonline.com/

Grandezas e Medidas para alunos do 1º , 2º, 3º, 4º e 5º Ano

Grandezas e Medidas para alunos do 1º , 2º, 3º, 4º e 5º Ano

Assista a animação sobre por que usar a mesma 

unidade para medir

Grandeza e Medidas -1º ano

Sequência didática
Mesa de 6,5 sapatos 
Estimando e tirando medida

Grandeza e Medidas -2º ano

Reportagem
Um dia após o outro no calendário

Sequência didática
Estimando e tirando medida

Grandeza e Medidas -3º ano

Plano de aula
Medindo objetos estáticos 

Vídeos
Medindo objetos estáticos
Medidas para uma toalha de mesa 
Explorando as unidades de medida 

Grandeza e Medidas -4º ano

Reportagem
Solução na medida

Vídeo
Resolução de problemas: medidas e cálculos

Sequências didáticas
Pesos e volumes
Relações entre unidades 

Projeto didático
Matemática da reciclagem

Grandeza e Medidas -5º ano

Sequências didáticas
Relações entre unidades 
Qual é o perímetro?
Aproximação e estimativa 
Metro, quilômetro. Litro, mililitro

Projeto didático
Matemática da reciclagem

Grandeza e Medidas -1º  ao 5º ano

Reportagens
Prova Brasil: Grandezas e MedidasComo medir tudo o que há

Retirado da Revista Nova Escola

http://revistaescola.abril.com.br/img/jogos/desafio-das-aves.jpg

http://pt.slideshare.net/RuteSantos6

http://pt.slideshare.net/RuteSantos6/revisado-agirafamedepalmos130725184037phpapp01

https://pt.slideshare.net/RuteSantos6/329182250-irmos-gmeos/edit?src=uploads&type=privacy

file:///C:/Users/Pedagogos/Downloads/sequenciadidaticavivianarainhadopijamapronto-131004202340-phpapp01.pdf

http://lematec.net/projetorede/index.php?page=bingo-das-grandezas-e-suas-medidas

Grandezas e medidas com o jogo "Desafio das Aves"

Aproveite algumas características dos pássaros dos seis biomas brasileiros,como área, altitude, tamanho e longevidade, para explorar grandezas e medidas com seus alunos.

Objetivos
- Comparar e ordenar números naturais de qualquer ordem de grandeza
- Utilizar medidas de tempo em conversões simples entre meses e dias/ meses e semanas/ meses e anos
- Estabelecer relações entre as unidades de medidas como metro e centímetro.
- Ler e interpretar dados apresentados por meio de tabelas simples

Conteúdos
- Grandezas e Medidas
- Tratamento da Informação

Anos
4º e 5º anos

Tempo estimado
Uma a duas aulas

Materiais necessários
- Computadores com acesso ao jogo "Desafio das Aves" 
- Projetor de imagens
- Folhas sulfite
- Lápis
- Borracha
- Lápis de cor

Desenvolvimento
1ª etapa
Comece dividindo a turma em seis grupos. Lembre-se que em cada um deles 3 duplas vão jogar o "Desafio das Aves", um jogo semelhante ao "super-trunfo", que compara características de aves de todos os seis biomas brasileiros. Na primeira partida cada grupo poderá escolher um bioma diferente. O primeiro passo é acessar o jogo, que está disponível neste link , e apresentá-los aos alunos. Dê algumas orientações básicas sobre como jogar, caso ache necessário.
Para que os alunos se mobilizem, prepare questões chamando a atenção durante a leitura das informações. Alguns exemplos:

- Quem já ouviu falar em Mata Atlântica?
- Vocês sabiam que nossas praias pertencem ao bioma da Mata Atlântica?
- Alguém já viu um passarinho na praia? Sabe dizer o nome dele?
- Vocês sabiam que a capital do Brasil fica no bioma chamado de Cerrado?
- Quem conhece, ou já viu de pertinho um passarinho muito famoso chamado Sabiá?

Perguntas como estas, além de sensibilizarem as crianças podem revelar o quanto já conhecem sobre o assunto que vai ser tematizado.

2ª etapa
Iniciado o jogo, estipule um tempo necessário para que cada grupo explore apenas um bioma. Terminado a primeira partida, permita que uma dupla de cada grupo socialize como foi a experiência. Para ajudar na exposição oral, proponha algumas questões:

- Qual carta chamou mais a atenção?
- Vocês observaram que alguns pássaros são muito pequenos?
- Perceberam se a categoria cor era marcada por estrelas?
- Alguém alguma vez escolheu esta categoria? Por quê?

3ª etapa
Solicite que os grupos troquem de biomas e reiniciem o jogo. Esta etapa deve conter um tempo maior até que todos os grupos completem todos os biomas. Passe pelos alunos e faça intervenções:

- Perceberam que na categoria: "área" os números em geral estão na ordem do milhar?
- Observaram nesta categoria números da ordem da dezena ou centena de milhar?
- Vale a pena apostar na categoria "cor"? Quando vale a pena?
- Vocês viram que na categoria: "tamanho" os números em geral são dezenas? Por que isto acontece?
- Já encontraram nesta categoria números na ordem das centenas? 

Questões como essas ajudam os estudantes a perceberem o que de fato precisam considerar na hora de apostar.

4ª etapa
Nesta etapa o professor deve problematizar o jogo, colocando para cada dupla uma ficha contendo uma das tabelas abaixo:

Os alunos deverão responder:
a)- Qual o pássaro destas tabelas que alcança maior altitude no seu voo?
b)- Qual deles vive mais longamente?
c)- Qual deles ocupa maior área de extensão?
d)-Qual o pássaro que possui menos tempo de vida?
e)- Coloque em ordem crescente o nome dos pássaros conforme sua área de extensão.

Cada dupla deverá preencher a tabela observando se há diferenças de medidas em algumas categorias. As duplas deverão calcular as conversões para preencher as tabelas corretamente.
Retome para a turma as referências padrões para as conversões, exemplo: um mês com 30 dias e com 4 semanas e o ano com 360 dias. Faça isso com todas as unidades que aparecem no supertrunfo das aves.

5ª etapa 
Ao final da atividade faça uma discussão coletiva, anotando os dados lidos pelas duplas. Durante a discussão, pergunte:

- Todos os dados puderam ser preenchidos?
- O que foi preciso considerar para fazer as conversões pedidas?
- Quais foram mais difíceis de calcular, por quê?
- Quais as estratégias utilizadas pela dupla?

Enquanto as duplas respondem, ouça atentamente e faça as intervenções que ajudem as crianças a usarem estratégias para os cálculos. Como foi calculada a quantidade de anos de vida dos animais? Quais operações foram necessárias? A dupla pensou na soma ou na multiplicação para a conversão de metros para centímetros? Por quê? O que a dupla observou para responder a questão da ordem crescente na categoria da área de extensão? Foi possível responder todas as perguntas? O que os alunos já sabiam sobre grandezas e medidas que ajudou a fazer a atividade?

Avaliação
Observe como os alunos registraram seus cálculos para as conversões exigidas nas tabelas. Anote as dificuldades relatadas na socialização e verifique que tipos de estratégias usaram nos cálculos. Estes dados poderão oferecer pistas para planejar outras atividades incluindo estes conteúdos.

FONTE: http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/plano-de-aula-matematica-grandezas-medidas-desafio-aves-739750.shtml

REVISTA SALTO PARA O FUTURO
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Origami & Matemática

Contar histórias do ensino/aprendizagem

A MATEMÁTICA AO ALCANCE DE TODOS

A matemática anda por aí

Blog de MATEMÁTICA RECREATIVA

VÍDEOS

LEPEM: Espaço de Produção de Materiais Alternativos para o
Ensino de Matemática

http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/507.pdf

PALESTRA PROFERIDA NO SEMINÁRIO NACIONAL SOBRE RECURSOS AUDIOVISUAIS NO ENSINO DE 1° GRAU. DEPARTAMENTO DE ENSINO FUNDAMENTAL -MEC - BRASÍLIA, JUNHO DE 1977. Prof. Léa da Cruz Fagundes Laboratório de Metodologia e Currículo - Departamento de Ensino e Currículo Faculdade de Educação - UFRGS. Materiais manipulativos no ensino de matemática a crianças de 7 a 14 anos Período das operações concretas

É de consenso geral que o homem comum, numa sociedade relativamente simples, necessita bem pouca matemática para solucionar os problemas da vida diária. Entretanto, as profundas mudanças econômicas e sociológicas, paralelas à implosão do conhecimento científico, as transformações ora benfazejas, ora catastróficas da técnica, as tendências gerais à democratização da sociedade, e os conflitos que resultam de tudo isso, criam condições de vida cada vez mais complexas. Administradores e especialistas em todos os núcleos da civilização atual ocupam-se da replanificação do ensino, propondo e instituindo reformas sucessivas. Pode-se, porém, observar que o crescimento do número de alunos na extraordinária expansão ocorrida no ensino não se deve somente ao aumento da população, mas também às medidas de justiça social que visam facilitar e garantir o acesso à escola e prolongar a escolaridade obrigatória para crianças e adolescentes. Essa escolaridade pretende também a formação cientifica para o homem de uma sociedade complexa. Analisando os aspectos positivos no desenvolvimento da educação, Jean Piaget (Psicologia e Pedagogia, 1970) alerta para os problemas que substituem quanto à eficiência dos meios empregados, pois "nem sempre fica demonstrado se esta expansão corresponde a um resultado feliz, a uma vitória da educação". Ele exemplifica: “Para analisar os progressos da medicina, pouco ajudaria uma estatística das doenças tratadas, pois seria necessário um estudo dos resultados dos tratamentos em relação a sua extensão social. O que continua a faltar à pedagogia científica é este gênero de controle, e daí porque o progresso apresentado deixa ainda em aberto uma série indefinida de problemas". Particularmente estamos investigando os problemas do ensino da matemática na Área de Ciências do Currículo de 1° grau. Acreditamos que é imprescindível considerar tanto: a importância das noções a serem ensinadas às crianças atendendo ao mesmo tempo necessidades de sobrevivência e necessidade de desenvolvimento social, como também as dificuldades de assimilação dessas noções mais importantes, pela maioria das crianças em todos os tipos de escola.  Considerando as noções que deveriam ser selecionadas é indispensável definir: - O que se entende por Matemática? O que vem acontecendo com a Matemática nestes últimos decênios? Porque a indagação Matemática mudou e continua mudando? Em que consistem essas mudanças?Gustave Choquet (apud Castelnuovo. 1973), expressa em poucas frases a diferença entre a matemática clássica e a matemática de hoje: “O ‘matemático tradicional’ estudava argumentos particulares que agrupava conforme o grau de dificuldades (aritmética, álgebra, geometria, trigonometria, etc.). A descoberta das grandes estruturas mudou o plano e a trama de construção de nosso mundo. A matemática clássica tomava como elementos base os objetos matemáticos. Desde a Antigüidade até o século passado houve concordância sobre a qualidade desses objetos. Eram, como dizia Platão, os números, o tamanho, a forma, e não estava ao nosso alcance lhes atribuir propriedades arbitrárias porque se consideravam separados de suas próprias estruturas. Dá-se hoje o nome de ‘matemática moderna’ àquela cuja essência não se deve à qualidade do material utilizado para as bases, mas às leis operatórias que permitirem a sua construção”, explica Castelnuovo (1973).A matemática, afirma Dienes (1970), não deve ser considerada como um conjunto de técnicas, embora tais técnicas sejam claramente essenciais para a sua utilização efetiva. Ela deve ser vista antes como uma estrutura de relações. Uma proposição matemática é relativa a alguma conexão dentro da estrutura; para exprimir tal conexão temos que usar um simbolismo que é uma espécie de linguagem inventada para comunicar partes da estrutura de uma pessoa para a outra. Em nossas escolas, proposições formais sobre estruturas estão continuamente sendo feitas sem que as estruturas propriamente ditas sejam compreendidas.Por matemática pode-se, então, entender as conexões estruturais efetivas entre conceitos ligados às idéias de número e de forma, e ao mesmo tempo suas aplicações a problemas tais como são postos na realidade. Por aprendizado de matemática deve-se, portanto, entender a apreensão de tais conexões, bem como suas simbolizações, e a aquisição da capacidade de aplicar os conceitos formados a situações reais que ocorrem no mundo. A matemática tem um valor operatório. Ela possibilita a construção de modelos qualitativo-quantitativos que a ajudarão a elaborar sistemas explicativos para os eventos do meio em que vivemos. Que objetivos perseguimos em nossas civilizações modernas ensinando matemática às crianças? Certamente, responde Jean Diedonné (1955), não é fazê-las conhecer a seqüência dos números primos ou uma coleção de teoremas sobre bissetrizes do triângulo, sem utilização alguma. É antes ensiná-las a ordenar e encadear seus pensamentos segundo o método de que servem os matemáticos. É a essência do método que deve ser objeto deste ensino, os tópicos ensinados devem se constituir em ilustrações bem escolhidas, se o que se deseja formar são cidadãos autônomos, envolvidos num processo de educação permanente. Mas de que maneira poderão os alunos chegar de forma independente a propor indagações e a resolver problemas? Que meios de trabalho, que tópicos, que situações é preciso organizar para impulsioná-los? Que procedimentos permitirão, de modo elementar, que a estrutura de um conteúdo surta este efeito formativo? A psicologia estende a mão à lógica e mostra, finalmente, que a inteligência da criança é orientada espontaneamente para a organização de certas estruturas operatórias que são isomorfas às que os matemáticos colocam como início de sua construção, ou que os lógicos encontram nos sistemas que elaboram. Em seu trabalho, Piaget (1955) não afirma que as regras lógicas sejam leis do pensamento. O que ele faz é adaptar a lógica ao mecanismo real do pensamento, conseguindo descrever as diferentes fases do desenvolvimento intelectual pelas estruturas elaboradas pela lógica: “Do ponto de vista prático, a questão para o educador seria escolher entre métodos formalistas fundados sobre a lógica e métodos ativos, baseados na psicologia: a finalidade do ensino matemático será alcançar tanto o rigor lógico do raciocínio quanto a compreensão, mas só a psicologia poderá fornecer ao pedagogo a maneira pela qual esse fim será alcançado. Se o edifício matemático repousa sobre ‘estruturas’ que por sua vez correspondem às estruturas da inteligência, é na organização progressiva dessas estruturas operatórias que é preciso basear a didática". Entretanto, a situação atual do ensino da matemática é, pode-se dizer, paradoxal. Os programas são reformulados buscando essa "organização progressiva" das estruturas algébricas, topológicas e de ordem, utilizam nova simbologia e incluem noções de lógica matemática. Mas a preferência dos alunos pelo estudo da matemática não tem aumentado, enquanto que as dificuldades de assimilação de noções importantes aumentam com o crescimento do alunado, tanto em 1° quanto em 2° grau. QUE FATORES ESTÃO INTERVINDO NA ASSIMILAÇÃO DAS NOÇÕES MAIS IMPORTANTES PELA MAIORIA DAS CRIANÇAS? Em primeiro lugar, será necessário analisar se a organização das estruturas matemáticas, na seqüência curricular, corresponde ao nível de desenvolvimento das estruturas operatórias da inteligência em cada grupo de alunos. O ponto essencial é fazer com que os alunos desenvolvam capacidades operatórias de modo correspondente à tomada de consciência suscita pela organização de ensino. Em segundo lugar, a ação pedagógica, constituindo-se de um sistema de interação entre pessoas, envolve atitudes, valores, sentimentos, que muito pouco são considerados no ensino matemático. Por exemplo, o professor em geral se preocupa mais com o êxito do aluno na realização do cálculo, com a sua habilidade de dar respostas "certas" do que com os danos que pode causar ao auto-conceito de uma criança ou de um adolescente reprimindo as experiências de insucesso na resolução de problemas. Pellerey (1976) comentando sobre o fato de que as atitudes dos adultos com a matemática estão freqüentemente enraizadas na infância, refere que, em torno da 3ª serie, uma criança já pode ter atitudes definidas e persistentes do tipo negativo. As experiências ansiosas e os traumas do tipo progressivo podem ser encontrados nas primeiras séries da escola primaria. Moojen Kiguel (1976) constatou que, entre 19 sintomas de dificuldades de aprendizagem listados, a freqüência de dificuldades de aprendizagem da matemática foi único sintoma que apresentou um aumento gradativo à medida que a criança avança da 1ª para a 3ª série do primeiro grau. Em terceiro lugar, é preciso considerar as experiências de aprendizagem que são proporcionadas pelo currículo escolar. Piaget (1972) afirma que a experiência de objetos do ambiente físico é obviamente um fator básico no desenvolvimento das estruturas cognitivas. Mas há dois tipos de experiências que são psicologicamente muito diferentes e esta diferença é muito importante do ponto de vista pedagógico. Primeiro o que ele chama de experiência física e segundo, o que ele chama de experiência lógico-matemática. O conhecimento, segundo Piaget, não é uma cópia da realidade. Não resulta de olhar e fazer simplesmente uma cópia mental, uma imagem de um objeto. Para conhecer um objeto, um fato, é preciso agir sobre ele, modificá-lo, transformá-lo, compreender o processo dessa transformação e, como conseqüência entender a maneira como o objeto é construído. A experiência física consiste em agir sobre o objeto e conseguir algum conhecimento por abstração. Por exemplo, descobrir que um cachimbo é mais pesado do que um relógio. A criança só pesará ambos e encontrará a diferença nos próprios objetos. Na experiência lógico-matemática, o conhecimento não é extraído dos objetos, mas das ações realizadas sobre os objetos pelo sujeito. E Piaget exemplifica: “Para contar bolinhas de gude no pátio, a criança as põe em fila e conta de um até dez. Quando termina de contar numa determinada direção, começa de outro lado e conta de novo. Descobre então a maravilha que são 10 da direita para a esquerda, ou da esquerda para a direita. Põe as bolinhas em um círculo e conta de novo: 10. Muda o arranjo e de novo conta 10. O que ela descobriu? Ela não descobriu uma propriedade das bolinhas, mas uma propriedade de ação de ordenar. As bolinhas não tinham ordem alguma. Foi sua ação que introduziu uma ordem linear, uma ordem cíclica, ou de qualquer outro tipo. Ela também descobre que a soma é independente da ordem, isto é, a ação de "colocar junto" é independente da ação de "ordenar", quando ela realiza a operação de juntar, contar, separar e contar novamente. Não é a propriedade física das bolinhas que a experiência mostra, mas as propriedades das ações”. Este é o ponto de partida da educação matemática. A educação subseqüente consistiria em interiorizar estas ações, afirma Piaget, e combiná-las sem precisar das bolinhas. O matemático não precisa de suas bolinhas de gude. Ele combina suas operações simplesmente com símbolos. PALESTRA PROFERIDA NO SEMINÁRIO NACIONAL SOBRE RECURSOS AUDIOVISUAIS NO ENSINO DE 1° GRAU. DEPARTAMENTO DE ENSINO FUNDAMENTAL -MEC - BRASÍLIA, JUNHO DE 1977. Prof. Léa da Cruz Fagundes Laboratório de Metodologia e Currículo - Departamento de Ensino e Currículo Faculdade de Educação - UFRGS. Materiais manipulativos no ensino de matemática a crianças de 7 a 14 anos Período das operações concretas É de consenso geral que o homem comum, numa sociedade relativamente simples, necessita bem pouca matemática para solucionar os problemas da vida diária. Entretanto, as profundas mudanças econômicas e sociológicas, paralelas à implosão do conhecimento científico, as transformações ora benfazejas, ora catastróficas da técnica, as tendências gerais à democratização da sociedade, e os conflitos que resultam de tudo isso, criam condições de vida cada vez mais complexas. Administradores e especialistas em todos os núcleos da civilização atual ocupam-se da replanificação do ensino, propondo e instituindo reformas sucessivas. Pode-se, porém, observar que o crescimento do número de alunos na extraordinária expansão ocorrida no ensino não se deve somente ao aumento da população, mas também às medidas de justiça social que visam facilitar e garantir o acesso à escola e prolongar a escolaridade obrigatória para crianças e adolescentes. Essa escolaridade pretende também a formação cientifica para o homem de uma sociedade complexa. Analisando os aspectos positivos no desenvolvimento da educação, Jean Piaget (Psicologia e Pedagogia, 1970) alerta para os problemas que substituem quanto à eficiência dos meios empregados, pois "nem sempre fica demonstrado se esta expansão corresponde a um resultado feliz, a uma vitória da educação". Ele exemplifica: “Para analisar os progressos da medicina, pouco ajudaria uma estatística das doenças tratadas, pois seria necessário um estudo dos resultados dos tratamentos em relação a sua extensão social. O que continua a faltar à pedagogia científica é este gênero de controle, e daí porque o progresso apresentado deixa ainda em aberto uma série indefinida de problemas". Particularmente estamos investigando os problemas do ensino da matemática na Área de Ciências do Currículo de 1° grau. Acreditamos que é imprescindível considerar tanto: a importância das noções a serem ensinadas às crianças atendendo ao mesmo tempo necessidades de sobrevivência e necessidade de desenvolvimento social, como também as dificuldades de assimilação dessas noções mais importantes, pela maioria das crianças em todos os tipos de escola. Considerando as noções que deveriam ser selecionadas é indispensável definir: - O que se entende por Matemática? O que vem acontecendo com a Matemática nestes últimos decênios? Porque a indagação Matemática mudou e continua mudando? Em que consistem essas mudanças?Gustave Choquet (apud Castelnuovo. 1973), expressa em poucas frases a diferença entre a matemática clássica e a matemática de hoje: “O ‘matemático tradicional’ estudava argumentos particulares que agrupava conforme o grau de dificuldades (aritmética, álgebra, geometria, trigonometria, etc.). A descoberta das grandes estruturas mudou o plano e a trama de construção de nosso mundo. A matemática clássica tomava como elementos base os objetos matemáticos. Desde a Antigüidade até o século passado houve concordância sobre a qualidade desses objetos. Eram, como dizia Platão, os números, o tamanho, a forma, e não estava ao nosso alcance lhes atribuir propriedades arbitrárias porque se consideravam separados de suas próprias estruturas. Dá-se hoje o nome de ‘matemática moderna’ àquela cuja essência não se deve à qualidade do material utilizado para as bases, mas às leis operatórias que permitirem a sua construção”, explica Castelnuovo (1973).A matemática, afirma Dienes (1970), não deve ser considerada como um conjunto de técnicas, embora tais técnicas sejam claramente essenciais para a sua utilização efetiva. Ela deve ser vista antes como uma estrutura de relações. Uma proposição matemática é relativa a alguma conexão dentro da estrutura; para exprimir tal conexão temos que usar um simbolismo que é uma espécie de linguagem inventada para comunicar partes da estrutura de uma pessoa para a outra. Em nossas escolas, proposições formais sobre estruturas estão continuamente sendo feitas sem que as estruturas propriamente ditas sejam compreendidas.Por matemática pode-se, então, entender as conexões estruturais efetivas entre conceitos ligados às idéias de número e de forma, e ao mesmo tempo suas aplicações a problemas tais como são postos na realidade. Por aprendizado de matemática deve-se, portanto, entender a apreensão de tais conexões, bem como suas simbolizações, e a aquisição da capacidade de aplicar os conceitos formados a situações reais que ocorrem no mundo. A matemática tem um valor operatório. Ela possibilita a construção de modelos qualitativo-quantitativos que a ajudarão a elaborar sistemas explicativos para os eventos do meio em que vivemos. Que objetivos perseguimos em nossas civilizações modernas ensinando matemática às crianças? Certamente, responde Jean Diedonné (1955), não é fazê-las conhecer a seqüência dos números primos ou uma coleção de teoremas sobre bissetrizes do triângulo, sem utilização alguma. É antes ensiná-las a ordenar e encadear seus pensamentos segundo o método de que servem os matemáticos. É a essência do método que deve ser objeto deste ensino, os tópicos ensinados devem se constituir em ilustrações bem escolhidas, se o que se deseja formar são cidadãos autônomos, envolvidos num processo de educação permanente. Mas de que maneira poderão os alunos chegar de forma independente a propor indagações e a resolver problemas? Que meios de trabalho, que tópicos, que situações é preciso organizar para impulsioná-los? Que procedimentos permitirão, de modo elementar, que a estrutura de um conteúdo surta este efeito formativo? A psicologia estende a mão à lógica e mostra, finalmente, que a inteligência da criança é orientada espontaneamente para a organização de certas estruturas operatórias que são isomorfas às que os matemáticos colocam como início de sua construção, ou que os lógicos encontram nos sistemas que elaboram. Em seu trabalho, Piaget (1955) não afirma que as regras lógicas sejam leis do pensamento. O que ele faz é adaptar a lógica ao mecanismo real do pensamento, conseguindo descrever as diferentes fases do desenvolvimento intelectual pelas estruturas elaboradas pela lógica: “Do ponto de vista prático, a questão para o educador seria escolher entre métodos formalistas fundados sobre a lógica e métodos ativos, baseados na psicologia: a finalidade do ensino matemático será alcançar tanto o rigor lógico do raciocínio quanto a compreensão, mas só a psicologia poderá fornecer ao pedagogo a maneira pela qual esse fim será alcançado. Se o edifício matemático repousa sobre ‘estruturas’ que por sua vez correspondem às estruturas da inteligência, é na organização progressiva dessas estruturas operatórias que é preciso basear a didática". Entretanto, a situação atual do ensino da matemática é, pode-se dizer, paradoxal. Os programas são reformulados buscando essa "organização progressiva" das estruturas algébricas, topológicas e de ordem, utilizam nova simbologia e incluem noções de lógica matemática. Mas a preferência dos alunos pelo estudo da matemática não tem aumentado, enquanto que as dificuldades de assimilação de noções importantes aumentam com o crescimento do alunado, tanto em 1° quanto em 2° grau. QUE FATORES ESTÃO INTERVINDO NA ASSIMILAÇÃO DAS NOÇÕES MAIS IMPORTANTES PELA MAIORIA DAS CRIANÇAS? Em primeiro lugar, será necessário analisar se a organização das estruturas matemáticas, na seqüência curricular, corresponde ao nível de desenvolvimento das estruturas operatórias da inteligência em cada grupo de alunos. O ponto essencial é fazer com que os alunos desenvolvam capacidades operatórias de modo correspondente à tomada de consciência suscita pela organização de ensino. Em segundo lugar, a ação pedagógica, constituindo-se de um sistema de interação entre pessoas, envolve atitudes, valores, sentimentos, que muito pouco são considerados no ensino matemático. Por exemplo, o professor em geral se preocupa mais com o êxito do aluno na realização do cálculo, com a sua habilidade de dar respostas "certas" do que com os danos que pode causar ao auto-conceito de uma criança ou de um adolescente reprimindo as experiências de insucesso na resolução de problemas. Pellerey (1976) comentando sobre o fato de que as atitudes dos adultos com a matemática estão freqüentemente enraizadas na infância, refere que, em torno da 3ª serie, uma criança já pode ter atitudes definidas e persistentes do tipo negativo. As experiências ansiosas e os traumas do tipo progressivo podem ser encontrados nas primeiras séries da escola primaria. Moojen Kiguel (1976) constatou que, entre 19 sintomas de dificuldades de aprendizagem listados, a freqüência de dificuldades de aprendizagem da matemática foi único sintoma que apresentou um aumento gradativo à medida que a criança avança da 1ª para a 3ª série do primeiro grau. Em terceiro lugar, é preciso considerar as experiências de aprendizagem que são proporcionadas pelo currículo escolar. Piaget (1972) afirma que a experiência de objetos do ambiente físico é obviamente um fator básico no desenvolvimento das estruturas cognitivas. Mas há dois tipos de experiências que são psicologicamente muito diferentes e esta diferença é muito importante do ponto de vista pedagógico. Primeiro o que ele chama de experiência física e segundo, o que ele chama de experiência lógico-matemática. O conhecimento, segundo Piaget, não é uma cópia da realidade. Não resulta de olhar e fazer simplesmente uma cópia mental, uma imagem de um objeto. Para conhecer um objeto, um fato, é preciso agir sobre ele, modificá-lo, transformá-lo, compreender o processo dessa transformação e, como conseqüência entender a maneira como o objeto é construído. A experiência física consiste em agir sobre o objeto e conseguir algum conhecimento por abstração. Por exemplo, descobrir que um cachimbo é mais pesado do que um relógio. A criança só pesará ambos e encontrará a diferença nos próprios objetos. Na experiência lógico-matemática, o conhecimento não é extraído dos objetos, mas das ações realizadas sobre os objetos pelo sujeito. E Piaget exemplifica: “Para contar bolinhas de gude no pátio, a criança as põe em fila e conta de um até dez. Quando termina de contar numa determinada direção, começa de outro lado e conta de novo. Descobre então a maravilha que são 10 da direita para a esquerda, ou da esquerda para a direita. Põe as bolinhas em um círculo e conta de novo: 10. Muda o arranjo e de novo conta 10. O que ela descobriu? Ela não descobriu uma propriedade das bolinhas, mas uma propriedade de ação de ordenar. As bolinhas não tinham ordem alguma. Foi sua ação que introduziu uma ordem linear, uma ordem cíclica, ou de qualquer outro tipo. Ela também descobre que a soma é independente da ordem, isto é, a ação de "colocar junto" é independente da ação de "ordenar", quando ela realiza a operação de juntar, contar, separar e contar novamente. Não é a propriedade física das bolinhas que a experiência mostra, mas as propriedades das ações”. Este é o ponto de partida da educação matemática. A educação subseqüente consistiria em interiorizar estas ações, afirma Piaget, e combiná-las sem precisar das bolinhas. O matemático não precisa de suas bolinhas de gude. Ele combina suas operações simplesmente com símbolos. O ponto de partida da educação lógico-matemática não é uma experiência no sentido usado pelos empiristas. É o começo da coordenação de ações. Mas esta coordenação de ações antes do estágio operatório formal precisa do amparo do material concreto. Montessori (OREM, 1975) fala do "espírito matemático" da criança - aquela parte da inteligência que reflete uma tendência natural à classificação, à mensuração. A criança se inclina a organizar e ordenar seu quadro de vida, edifica nele, a partir de suas experiências, "modelos" ou "mapas" deste meio - eles lhe servirão de base, no futuro, para tomar decisões. Na criança essa necessidade de qualificar, de abstrair e de interiorizar o que para ela apresenta uma necessidade lógica, só pode ser satisfeita se seu quadro de vida não é incoerente e pobre. A teoria neurofisiológica do Dr. O. Hebb (apud Orem, 1975) oferece uma perspectiva que embasa o pensamento de Montessori. Ele acentua que a experiência, a sensação, a percepção, as interações humanas desenvolvem o sentido do real, a atenção ao meio físico, a descoberta progressiva de significações. Em L´Organization du Comportment,  Dr. Hebb apresenta sua teoria segundo a qual toda primeira experiência desempenha um papel central, pois uma excitação repetida dos órgãos receptores conduz à organização de unidades funcionais que ele chama de "assembléias de células". Num estágio mais avançado as assembléias de células se combinariam para formar "seqüências de fases". Na medida em que uma ambiência que estimula é determinante para favorecer o desenvolvimento intelectual, as experiências da criança terão grande influência sobre o modo pelo qual, tornado adulto, saberá resolverá seus problemas. Num meio inerte, o sistema nervoso pode não chegar a adquirir as estruturas necessárias a cada indivíduo para aprender este mundo de complexidade sempre crescente. Será preciso oferecer às crianças apelo a diversas dimensões sensoriais ao mesmo tempo em que à atividade experimental para que percepções e operações se interconectam. Se deixarmos a criança entregue a seus próprios recursos num meio carente não é de se admirar que ela se torne um problema escolar. A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULATIVOS NO ENSINO Como membros do Grupo de Estudos Cognitivos e do Grupo de Estudos sobre o Ensino de Matemática de Porto Alegre temos participado de encontros com grupos internacionais em que se expressa sempre a mesma preocupação com o ensino: as mudanças que ocorrem no seio da sociedade, o desenvolvimento interno da ciência e as descobertas da psicologia experimental não chegaram ainda a produzir mudanças efetivas no trabalho do professor em sala de aula. Ainda que utilizando manuais que se intitulem "modernos", enchendo cadernos com novos símbolos, o aluno é tratado como indivíduo de um grupo uniforme que deve permanecer receptivo. As informações abstratas são transmitidas verbalmente, e "logicamente" pelo professor, com o auxílio do giz e quadro-verde. Folhas de papel mimeografado, com definições e exercícios, quando são utilizadas, são consideradas como grande conquista. Os maus resultados do ensino, o rendimento precário do aluno, são atribuídos ou à "modernização" da matemática, ou à incapacidade de aprender. Essa incapacidade chega até a ser muito bem aceita por grande número de professores em todos os graus que, por insuficiente formação psicológica, acreditam ser o pensamento matemático de tal qualidade que só uma minoria de seres bem dotados poderia desenvolvê-lo. Por que a revolução que se iniciou na didática desde o século XVII, com Comênius, não alterou ainda este quadro? Os métodos "intuitivos" foram ainda preconizados por Rousseau (1712-1778), Herbart (1776-1841), incorporando-se ao ensino o material concreto. A utilização de material concreto abriu novas perspectivas, mas sofreu as limitações da fundamentação psicológica que a preconizava. Esses métodos "intuitivos", afirma Piaget (1970), agora já clássicos, renascem sem cessar das próprias cinzas. Eles constituem, na verdade, um progresso em relação aos processos puramente verbais, ou formais. Mas de modo algum são suficientes para desenvolver a necessária atividade operatória da inteligência para a aquisição do conhecimento. A insuficiência da concepção de ensino que considera o aluno um receptor em lugar de um criador, continuou em nosso século a provocar numerosos movimentos renovadores: Dewey (1859-1932), Claparède (1873-1940), Kerschensteiner (1854-1932) preconizam a chamada "escola ativa". O recurso fundamental dessa nova escola é "a atividade construtiva do espírito dominado pela dúvida" (Dewey, 1946). A proposição dos métodos "ativos" (investigação experimental – verificação) tendo como centro do processo o aluno, tem como objetivo aatividade mental do aluno para aquisição do conhecimento. No ensino da matemática, entretanto, esse objetivo não tem sido perseguido. Devido à formação psicológica insuficiente da maioria dos educadores, há duas confusões distintas: Pensar que toda "atividade" do sujeito, ou da criança se reduz a ações concretas. Isso é verdadeiro para os graus elementares, não o sendo para níveis superiores, onde o aluno pode ser inteiramente ativo no sentido de uma redescoberta pessoal pela reflexão interior e abstrata; Acreditar que uma atividade que incida sobre objetos concretos se reduza a processos figurativos, isto é, que forneça uma espécie de cópia fiel, em percepções ou em imagens mentais.  Exemplifica Piaget que a utilização de materiais concretos pode-se dar em sentidos até opostos. As barrinhas de Cuisenaire podem dar lugar a utilizações operatórias, se a criança descobre por si mesma as diversas operações através de manipulações espontâneas; utilizações essencialmente intuitivas ou figurativas se o professor se limita a demonstrações exteriores onde a criança só tem a oportunidade de ler figurações acabadas. Bergson comparava a atividade operatória da inteligência aos processos cinematográficos. Infelizmente falhou nos problemas das operações, afirma Piaget, e não percebeu que a transformação operatória constitui um ato verdadeiro, contínuo e criador. "O construtivismo operatório da inteligência não se reduz às imagens de um filme, antes se pode compará-lo ao motor que garante o desenrolar das imagens, e sobretudo dos mecanismos cibernéticos que assegurariam um tal desenrolar graças a uma lógica e aos processos auto-reguladores e auto-corretores. Assim, o recurso à experiência e à ação sobre materiais concretos, de um modo geral, uma pedagogia chamada ‘ativa’ enquanto procedimento de iniciação matemática, em nada compromete o rigor dedutivo ulterior. Ao contrário, prepara-o, proporcionando-lhe bases reais e não simplesmente verbais". A utilização de materiais concretos no ensino de 1º Grau deve ser organizada de modo a propiciar a cada aluno situações de experiências físicas bem como situações de experiências lógico-matemáticas, onde ele possa realizar tanto abstrações empíricas quanto abstrações reflexivas. Gaba (1975) propõe o seguinte esquema para utilização de material concreto nas aulas de matemática: Manipulação de objetos concretos Ações realizadas com objetos Obtenção de relações Interiorização dessas relações Aquisição e formulação do conceito Integração do conceito a conceitos anteriores (estruturação) Aplicação ou reconhecimento da estrutura em novas situações Dienes (1974) propõe um modelo de seis etapas para a construção do modelo matemático: Dienes (1974) propõe um modelo de seis etapas para a construção do modelo matemático: 1ª - Jogo livre enriquecido num ambiente enriquecido por materiais 2ª - Jogos estruturados, obedecendo a regras. 3ª - Comparação dos jogos que tenham estruturas isomorfas 4ª - Representação da abstração lógico-matemática 5ª - Análise das propriedades dessa representação 6ª - Demonstração dedutiva das propriedades estruturais do conceito, em linguagem matemática. Reconhecemos que utilizar materiais numa metodologia ativa é muito mais trabalhoso para o professor, alem de exigir-lhe uma formação bem mais específica, que as próprias universidades tardam em incluir nos currículos de suas licenciaturas. Tivemos ocasião de avaliar alguns de seus resultados no Projeto Reformulação Metodológica no Ensino de Matemática no 1º Grau (INEP/GEEMPA, 1974) e no Projeto Ensino Integrado de Ciências e Matemática no 1º Grau (PREMEN/UFRGS, 1976). Em ambos, a mudança de atitude revelou-se fundamental. Mesmo um professor com poucos recursos materiais, trabalhando com crianças socialmente carentes, pode utilizar o método ativo com materiais do próprio ambiente, até mesmo sucata doméstica. Mas é preciso que ele apresente certa sensibilidade para descobrir como seus alunos "pensam", para respeitar e estimular sua iniciativa e sua atividade; uma crença firme de que eles têm possibilidade de se desenvolverem e uma aquisição razoável dos conceitos que ele vai ajudar os alunos a construírem. Em artigo publicado na revista Archimedes, nº. 5, 1962, Emma Castelnuovo relata um de seus trabalhos experimentais que ilustra a utilização de materiais, com simplicidade, em sala de aula, atendendo aos princípios de uma pedagogia ativa: Propõe-se a um grupo de crianças o problema de desenhar um retângulo tendo a base três vezes maior do que a altura. Como as crianças efetuam a construção da figura?  Alguns se valendo da regra fixam certa medida para a altura, triplicam essa medida e desenham a base; outros se valem de uma folha quadriculada para desenhar a altura do mesmo tamanho do lado do quadrinho, e a base de três desses quadrinhos; outros ainda desenham um retângulo sem tomar as medidas, mas põe em evidência que a base é o triplo da altura dividindo-a em três partes que deveriam ser cada uma igual à altura, mas isso nem sempre acontece. Depois de terem feito o desenho, faz-se a seguinte pergunta: Se fosse dado o comprimento do perímetro do retângulo, seria possível determinar o comprimento da base e o da altura? As respostas dadas foram as mais inesperadas: Divide-se o perímetro por 2!... por 4!... por 3! Ficamos perplexos porque observamos que os alunos não observam, em absoluto, o retângulo que desenharam em seus cadernos, e que, mesmo estimulados a examinar a desenho que traçaram, eles próprios "não o vêem". Reflitamos. Observar esse retângulo significa decompor seu contorno nos elementos que o formam, significa pensar que a base está composta por três elementos iguais entre si, e iguais à altura; trata-se de conceber uma equação de primeiro grau. A observação que se pode fazer é que a criança, mesmo que o tenha desenhado, só vê o retângulo como um todo inseparável, não consegue analisá-lo. Para um outro grupo de crianças apresenta-se o mesmo problema, porém utilizando-se palitos. Eles usam 1 palito para a altura e 3 para a base1 ou 2 para a altura e 6 para a base, etc. Depois dessa construção, todos os alunos sabem dizer imediatamente que procedimento utilizar para encontrar o comprimento das duas dimensões. Que diferença há entre esta construção e o desenho? Aqui, ao efetuar a construção, o aluno se dá conta das relações das partes com o todo. E o palito, esse material insignificante, assume para ele um valor enorme - é o meio para resolver problemas construindo e contando; operações que significam não verbalizar. Além disso, a vantagem que um material oferece em relação ao desenho, é a mobilidade de seus elementos. Pode-se construir com o mesmo número de palitos outras figuras, por exemplo, um quadrado. Teria a mesma área do retângulo? Os conceitos de perímetro e de área, postos em confrontação, se aclaram reciprocamente. Ainda a simples confrontação dos retângulos construídos com diferentes números de palitos, com a mesma relação, abre as portas para a teoria da semelhança. É possível continuar considerando problemas análogos sobre muitas figuras geométricas, ou sobre questões de aritmética que considerem o conceito de relação, e chegar a uma sistematização. Nasce espontânea a "entrada nas equações". Ao momento heurístico segue um êxtase! A seguir se deduz procedimentos em casos do mesmo gênero. Certamente reconhecemos que a educação científica deve ter como finalidade fazer passar de uma visão mágica das coisas que nos rodeiam, a um conhecimento objetivo e a um sereno julgamento dos fenômenos naturais; deve ser uma contínua ascensão na arte de observar, de medir, hipotetizar e deduzir, de controlar e verificar. Esta atividade científica expressa a própria operatividade do pensamento matemático na construção de abstrações a partir do real. REFERÊNCIAS: CASTELNUOVO, Emma. Didáctica de la Matemática Moderna. México, Ed. Trillas, 1973. DIENES, Z. P. Aprendizado Moderno da Matemática. Rio, Zahar, 1970. GABBA, Pablo J. Matemática para Maestros. Buenos Aires, Ed. Marymar, 1975. LAVATELLI, Celia and STENDLER, Faith. Readings in Child Behaviour and Development. Harcourt Inc. New York, 1972. MOOJEN Kiguel, Sonia. Avaliação de Sintomas de Dificuldades de Aprendizagem em Crianças de 1ª, 2ª, e 3ª séries do 1º Grau. Porto Alegre, Redacta, 1976 (Dissertação de Mestrado). OREM, R. C. Le Manuel Montessori. Éd. Denoël/Gonthier, Paris, 1975. PIAGET, Jean. Psicologia e Pedagogia. Ed. Forense, Rio, 1970. Association des Professeurs de Mathématiques de L'Enseignement Public. La Mathématique a l' École ÊLÉMENTAIRE. Paris, 1972.

Material Dourado 

O material dourado foi criado pela médica italiana Maria Montessori quando ela trabalhava com crianças que apresentavam distúrbios de aprendizagem. 

Hoje o material dourado é geralmente constituído de peça de madeira, apresentadas em quatro tipos:

Cubinho	Barra	Placa	Cubo

A grande vantagem desse material é permitir que os alunos visualizem os valores de cada peça por correspondência dos tamanhos e formatos.

Para pensar: Quantos cubinhos precisamos enfileirar para formar uma barra? Quantas barras são necessárias para formar uma placa? Com quantas placas se forma um cubo? Quantos cubinhos há em uma placa? Quantas barras formam um cubo? Com quantos cubinhos podemos fazer um cubo?

Ao contrário do ábaco por exemplo, que é preciso convencionar determinado valor(base) para a troca das peças, no material dourado as trocas em base 10 são concretizadas.

Quanto tempo leva?

Estime o número de vezes que você faz as coisas da primeira coluna durante dez segundos. Comprove sua estimativa cronometrando e anotando na terceira coluna:

Agora cronometre as seguintes ações:

Adaptado de http://www.mismates.net/matematicas/manipulables/medida.htm 

Medidas

Meça vários colegas e colha os seguintes dados:

Com os dados obtidos é possível saber quanto mede uma pessoa que calça 48?

Existe alguma relação entre o manequim e o número do calçado?

Construa um gráfico Manequim x Tamanho de calçado.

Adaptado de http://www.mismates.net/matematicas/manipulables/medida.htm

Cubo unitário

Você vai considerar, como unidade de volume, um cubo cuja aresta tenha uma unidade de comprimento. Este cubo recebe o nome de cubo unitário e o seu volume é um.

1. Quantas unidades de volume cabem no prisma abaixo?

2. Veja quantas unidades de comprimento cabem na altura do prisma. E na largura? E no comprimento?

3. Multiplique os três números que você obteve na questão 2. Que resultado você encontrou?

4. Compare os resultados que você obteve nas questões 1 e 3.

5. Quantas unidades de área cabem na face de baixo (oculta)?

6. Quantas unidades de comprimento tem a altura deste prisma?

7. Multiplique os números que você encontrou em 5 e 6. Qual é o resultado?

8. Compare os resultados que você obteve na questão 7 e na questão 3. O que você pode concluir?

Adaptado de: Soares, M. G. e outros, Novos Materiais para o Ensino de Matemática, IMECC - UNICAMP, 1974.

Desafio dos 4 litros

Temos um jarro de 5 litros, outro de 3 litros e uma porção de água. Será possível medir exatamente 4 litros? (Podes jogar água fora!)

Retirado de: Scott, heather; Snape, Charles. Enigmas matemáticos. Gradiva Publicações. 1994.

Avaliando o volume

Imagine que você tem uma caixa de papelão e cubos de madeira.

Encha a caixa com os cubos. Quantos cubos couberam?

Você acha que o cubo é uma boa unidade de medida para volumes? Por quê?

O que você faria para determinar o volume de um cilindro e de um cone?

Adaptado de Soares, M. G. e outros, Novos Materiais para o Ensino de Matemática, IMECC - UNICAMP, 1974.

COMO CONSTRUIR UM ÁBACO COM MATERIAIS ALTERNATIVOS

Construção de Ábaco Ocidental com o uso de material reciclável

Ábaco I

Material:

• Caixa de sapato
• Palitos de churrasco
• Pedaço de mangueira

Utilize a mangueira para constuir as peças do seu ábaco, cortando-as em pedaços pequenos de mesmo tamanho. Fixe os palitos de madeira na caixa de sapato, ou de outro material, de modo que eles fiquem de pé e possam posteriormente sustentar os pedaços de
mangueira. Feito isso o seu ábaco aberto está pronto.
Agora só precisas deixá-lo com um boa aparência da forma que achares
conveniente.

Ábaco II

Material

• Cartolinas coloridas
• Chapas de E.V.A.
• Cola

Recorte pedaços retangulares de cartolina de 10cm de largura x 15 cm de altura e cole esses pedaços sobre um pedaço também retangular de cartolina medindo a.10cm de largura x 15cm de altura, onde a é o número de pedaços menores. No nosso exemplo, utilizamos três pedaços de cores diferentes, assim nossa base foi um pedaço de 30 cm.

Recorte as chapas de E.V.A. com faces quadradas de 2cm de lado. Esses pedaços de E.V.A serão as contas do ábaco. As cores diferentes representam, na base decimal, unidade, dezena, centena (da direita para esquerda).

Ábaco III

Material

• Caixa de ovos
• Grãos de feijão
• Tesoura

Recorte uma coluna de bases de ovos. Os grãos de feijão serão as contas. Para fazermos 18 + 24 procedemos da seguinte forma:

1) Colocar um feijão na casa das dezenas e oito na casa das unidades;

2) Colocar quatro feijões na casa das unidades e dois na casa das dezenas;

3) Para cada dez feijões na casa das unidades, retiram-se esses e coloca-se um feijão na casa das dezenas.

Como disposição final, teremos quatro feijões na casa das dezenas e dois na casa das unidades.